Tarea competencial de Matemáticas (primera evaluación) Juan Cives

-En el enunciado de la tarea competencial dice lo siguiente:

• Para comenzar analizamos los datos:

-Los participantes: $$x$$

-Hay tres niveles:

Primaria: $$\frac { 1 }{ 6 } x$$ ya que son 1 sexto de los participantes, que son la incógnita.

Secundaria: son tres quintos del resto, es decir, que es la resta de la unidad (seis sextos) menos el numero de participantes de primaria (un sexto), que significa que es $$\frac { 3 }{ 5 } \times \frac { 5 }{ 6 } x$$

Bachillerato: 300 estudiantes

-Solo había 50 participantes de 3º de la ESO, y el resto de cursos de secundaria el mismo número de participantes.

-El 39,666666666...% eran chicos, y por lo tanto, el resto chicas.

-Había el doble de niños en primaria que en secundaria, y, a su vez, había el doble de niños en secundaria que en bachillerato.

-Se realizaron las mismas pruebas en los 3 niveles sin empates, por lo que se ganaron 45 medallas.

-Hubo 45 medallas. Cada medalla de oro costó 2,345€, cada medalla de plata costó 1,975€ y cada medalla de bronce costó 0,835€.

-Conociendo los datos, procedemos a resolver las preguntas:

1. ¿Cuántos participantes hubo?

• Para conocer esto ya tenemos los datos que nos decían que, en primaria son $$\frac { 1 }{ 6 } x$$ ya que son 1 sexto de los participantes, que son la incógnita. En secundario hemos apuntado que son tres quintos del resto, es decir, que es la resta de la unidad (seis sextos) menos el numero de participantes de primaria (un sexto) $$\frac { 3 }{ 5 } \times \frac { 5 }{ 6 } x$$ que, al simplificarlo, da como resultado $$\frac { 1 }{ 2 } x$$ y de bachillerato eran 300 estudiantes. Si sumamos los estudiantes que había de primaria, secundaria y bachillerato nos dará como resultado el número de participantes, que son la incógnita. Por ello: $$\frac { 1 }{ 6 } x\quad +\quad \frac { 1 }{ 2 } x\quad +\quad 300\quad =\quad x\\ m.c.m:\quad 6\\ \left[ (6\quad \div \quad 6)\quad \times \quad 1x \right] \quad +\quad \left[ (6\quad \div \quad 2)\quad \times \quad 1x \right] \quad +\quad (300\quad \times \quad 6)\quad =\quad 6x\\ x\quad +\quad 3x\quad +\quad 1800\quad =\quad 6x\\ 1800\quad =\quad 6x\quad -\quad 4x\\ 1800\quad =\quad 2x\\ \frac { 1800 }{ 2 } \quad =\quad x\\ 900\quad =\quad x\\ \quad$$
• Por ello hay 900 participantes.

      2. ¿Cuántas chicas hubo?

• Ya nos han dado a conocer el porcentaje de chicos 39,66666...%, un número periódico que, por lo tanto, hay que transformar a fracción para poder operar con él, haciendo su fracción generatriz: $$39,66666...\quad =\quad x\\ \\ (10x\quad =\quad 396,66666...)\quad -\quad (x\quad =\quad 39,66666...)\quad \rightharpoonup \quad 9x\quad =\quad 357\\ x\quad =\quad \frac { 357 }{ 9 }  $$ -Al ser un porcentaje lo tenemos que dividir entre 100. $$\frac { 357 }{ 9 } \quad \div \quad \frac { 100 }{ 1 } \quad =\quad \frac { 357 }{ 900 } \\ \quad$$ A todo esto, hay que recordar que eran 900 participantes, por lo tanto hay que multiplicar esto por 900 y, así, obtendremos finalmente el número de chicos. $$\frac { 357 }{ 900 } \quad de\quad 900\quad =\quad \frac { 357\quad \times \quad 900 }{ 900 } \quad =\quad \frac { 357\quad \times \quad 1 }{ 1 } \quad =\quad 357$$ -Al tener el número de chicos simplemente tenemos que restárselo al número de participantes y así, finalmente, obtendremos el número de chicas. $$900\quad -\quad 357\quad =\quad 543$$ 
• Por esto, el número de chicas de la competición son 543.

      3. ¿Cuántos deportistas de 4º de ESO hubo en la prueba?

• En el primer ejercicio se ve como los participantes de secundaria eran la mitad de los participantes es decir: $$\frac { 1 }{ 2 } \quad de\quad 900\\ \frac { 900 }{ 2 } \quad =\quad 450$$ Por esto, había 450 participantes de secundaria, de los que, de 3º de la ESO habían 50 alumnos. Por lo tanto al restar 450 - 50 = 400, que es el número total de participantes entre 1º, 2º y 4º de la ESO. Nos dicen en los datos que el resto de cursos de secundaria tienen el mismo número de participantes. Por lo tanto, al dividir 400 entre 3, que es el número total de cursos de secundaria excepto 3º de la ESO. $$400\quad \div \quad 3\quad =\quad 133,3333333...$$ Obviamente, no puede haber 133,33333333... competidores de 4º de la ESO, por lo que esto significa que los datos que nos han dado no son los correctos, por lo que esta pregunta no tiene solución.

      4. ¿Cuántos atletas masculinos de secundaria participaron?

• Ya hemos averiguado que el número de participantes masculinos es 357. Sabemos que en bachillerato hay 300 alumnos. Para averiguar el número de chicos de secundaria, primero debemos averiguar el número de chicos de bachillerato. En uno de los datos nos dicen que el número de chicos de secundaria es el doble que bachillerato.

       Si los chicos de bachillerato son $$x$$ y los de secundaria son el doble, es decir, $$2x$$ los de           primaria, que son el doble que los de secundaria, serán $$2\quad \times \quad 2x\quad =\quad 4x$$ Al sumar todos ellos dará 357, que son los participantes masculinos, por tanto, de aquí podemos formular la siguiente ecuación: $$x\quad +\quad 2x\quad +\quad 4x\quad =\quad 357\\ 7x\quad =\quad 357\quad \\ x\quad =\quad \frac { 357 }{ 7 } \quad =\quad 51$$ Así sabemos que en bachillerato hay 51 chicos y que, como en secundaria hay el doble de chicos, podemos obtener el número de chicos de secundaria multiplicando por dos los de bachillerato, de la siguiente forma: $$51\quad \times \quad 2\quad =\quad 102$$ 

• Por lo tanto, en secundaria hay 102 alumnos masculinos.

    5. ¿Cuántas pruebas diferentes hubo?

• En el enunciado explica que hubo 45 medallas. No hubo ninguna variable, pues no hubo empates y en los tres niveles se hicieron las mismas pruebas. Asimismo, suponemos que por cada prueba se darían 3 medallas, una de oro, otra de bronce y otra de plata. Si dieron 45 medallas y 3 tipos de medallas por cada prueba, al dividir las 45 medallas entre los 3 tipos de medalla obtenemos el número de pruebas: $$45\quad \div \quad 3\quad =\quad 15$$ 
• Por ello, en esta competición se hicieron 15 pruebas.

     6. ¿Cuánto dinero costaron las medallas?

• En el enunciado dice que se compraron 45 medallas. Cada medalla de oro costó 2,345€, cada medalla de plata costó 1,975€ y cada medalla de bronce costó 0,835€. Se entregaron 3 medallas en las 15 pruebas, sorteadas entre primaria, secundaria y bachillerato. Por lo tanto se dio una medalla de oro en las 15 pruebas, 1 de plata en las 15 pruebas y una de bronce en las 15 pruebas. Por ello: $$Oro:\quad 15\quad \times \quad 2,345\quad =\quad 35,175\\ Plata:\quad 15\quad \times \quad 1,975\quad =\quad 29,625\\ Bronce:\quad 15\quad \times \quad 0,835\quad =\quad 12,525\\ 35,175\quad +\quad 29,625\quad +\quad 12,525\quad =\quad 77,325$$
• En el enunciado dice que solo al final se debe redondear, por lo que las medallas costaron en total 77,325€, que redondeamos, siendo 77,33€.